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概率统计作业

问题一

英语单词拼写错误

1.位置:2025fallPSSP_s1.pdf P7

原文： “All sciences are, in the abstact, mathematics.”中的单词“abstact”漏了“r”，应为“abstract”（抽象的）。

2.位置:2025fallPSSP_s1.pdf P36

原文：“似然性(likeliwood)”中的单词“likeliwood”拼写错误，应为“likelihood”。

3.位置：2025fallPSSP_s3.pdf P7和P13

原文：“Law Of The Unconscious Statistian(无意识统计学家的法则)”中的单词“Statistian”拼写错误，漏了“ic”，应为“Statistician”（统计学家）

问题二

位置：2025fallPSSP_s3.pdf P41

PPT中的方差分解恒等式：

有错误，等式右边的 项前少一个 。理由：

问题三

位置：2025fallPSSP_s2.pdf P62

问题：
设系统由 个独立同分布的元件组成，包含并联，串联的连接方式。每个元件的寿命 ，其概率密度函数和分布函数为： 。随着的增大，对于并联和串联的连接方式，系统寿命的概率分布及其均值和方差是如何变化的？

1. 对于串联系统系统中只要有一个元件失效，整个系统即失效。

则分布函数 。这表明串联系统的寿命 仍然服从指数分布，参数变为 。S的均值与方差：
这说明对于串联系统，随着的增大，系统性质不变，依然是“无记忆”的指数分布，并且系统的平均寿命变小。

2. 对于并联系统，系统中所有元件都失效，系统才失效。 (1)分布函数的推导：
   这不再是指数分布，而是一个广义极值分布的特例。

   (2)求系统寿命的均值和方差：
   将系统寿命 分解为“从 个元件工作到 个元件工作”的时间段之和。

   • 阶段 1： 个元件都在工作。最早坏掉一个元件的时间记为 。此时相当于 个元件串联时系统的寿命，由上面推导知。
   • 阶段 2：剩 个元件。最早再坏掉一个的时间记为 。此时相当于 个元件串联，故 。
   • …
   • 阶段 n：剩 1 个元件。它坏掉的时间记为 ，服从 。

   整个并联系统的总寿命 就是这些时间段的总和：
   

   由于无记忆性，其中 相互独立。
   均值：
   

   方差：

   
   对于并联情况，系统寿命均值和方差随 呈对数增长，但方差随 很快收敛，收敛于 。这意味着，并联系统的寿命分布不仅均值变大了，而且分布形态变得更“集中”了。